varlık ispatları

Posted on Oct 28, 2020 DRAFT

varlık ispatları, ispatı yapılan önermenin tabiatı gereği belirli kısımlarında, varlığı gösterilecek matematiksel yapının bir inşaat ile hasılının ardına ibrazını ihtiva ederler. fakat bu inşaatın nasıl gerçekleşeceği, inşa edilecek yapının, inşaatı bittiği takdirde sahip olması gereken özelliklerden yola çıkılarak keşfedileceği için varlık ispatları, ispat yazılmaya başlanılmadan önce icra edilen, varsayımsal çıkarımlardan mürekkep bir çözümleme ile öncelenir.

örnekle, bir işlecin, bir noktadaki limitinin sıfır olduğunu doğrudan limit tanımı ile gösterirken, verilen herhangi bir pozitif gerçel sayı için, belli şartları sağlayan bir başka pozitif gerçel sayı ibraz edersiniz. ibraz edeceğiniz bu sayının inşasını ispat esnasında, girift olmayan bir anlatımla gerçekleşdiremezsiniz. bunun yerine, bir ön çözümleme ile, belli şartları sağlaması gereken bu gerçel sayının, bahsedilen şartları sağladığı durumda nasıl bir sayı olması gerekdiğini ve dolayısıyla bu sayıyı nasıl inşa edeceğinizi bulursunuz. ardından, daha ispatın ilk cümlesini dahi yazmamışken, ileride ibraz edeceğiniz bu sayıyı inşa edersiniz. ispata başlayıp sayıyı ibraz etdikden sonra geriye kalan tek şey, ibraz etdiğiniz sayının, bahsedilen özellikleri sağladığını göstermekdir. fakat unutmayın, bu özellikleri nasıl sağladığı ile ilgili yeterli malumatı, çözümlemeyi yaparken elde etdiniz. yani ispatın geriye kalan bu kısmı, fazladan yaratıcılık gerekdirmeyen bir doğrulamadan ibaret. anlatılan süreci müşahede etmek için \[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,f(x) = x^2 \] işlecinin sürekli olduğunu gösterin.

çözümleme. \( c \) bir gerçel sayı olsun. mantıksal sembollerle, gösterilecek şey aşağıdakidir: \[ \begin{equation} \forall \epsilon>0 , \exists \delta>0, \forall x\in \mathbb{R}, |x - c|<\delta \implies |x^2 - c^2|<\epsilon \tag{sür}\label{con} \end{equation} \] şimdi, \( \S 1 \)‘de bahsini etdiğimiz varsayımsal çıkarımları yapmak amacıyla, verilen bir pozitif \( \epsilon \) gerçel sayısı için, \( \eqref{con} \)‘de \( \delta \) ardına gelen şartı sağlayan bir pozitif \( \delta \) gerçel sayısının varlığını kabul edelim. artık dağarcığımızda \( \delta \) adlı, üzerine usavurum yapabileceğimiz bir nesne var. \( \delta \), \( |x-c| \) için bir üst sınır olduğu için, \( 2|c| + \delta \), \( |x+c| \) için bir üst sınır. şimdi \( k \) bir pozitif gerçel sayı olsun. eğer \( \delta \), \( k \)‘dan küçük bir gerçel sayıydıysa, \( |x^2 - c^2|<\epsilon \) olması hasebiyle aşağıdaki eşitsizliği sağlıyordu deriz: \[ \delta \leq \frac{\epsilon}{2|c| + k} \] ki bu eşitlizlik doğrudan bize \( \delta \)‘nın tabiatını açıklar. yok eğer değildiyse, bu sefer de \( k \), \( \delta \) için doğal bir betimleyici olur. yani, ispatta sırası geldiğinde, herhangi bir \( k \) pozitif gerçel sayısı için \[ \operatorname{min}\left\{\frac{\epsilon}{2|c|+k}, k\right\} \] gerçel sayısını ibraz etmek yeterli olacak.

ispat. \( c \) bir gerçel sayı, \( \epsilon \) ve \( k \) pozitif iki gerçel sayı olsun. bizden varlığı talep edilen pozitif gerçel sayıyı \[ \delta = \operatorname{min}\left\{\frac{\epsilon}{2|c|+k}, k\right\} \] diye ibraz edelim. \( |x-c|<\delta \) olacak şekilde \( x \), bir gerçel sayı olsun. ikilem:

  1. \( \delta = \frac{\epsilon}{2|c|+k} \). yani \( |x-c|<k \) ve dolayısıyla \( |x+c|<2|c|+k \). böylece: \[ \begin{align} |x^2 - c^2| &= |x-c||x+c| \\
    &< \frac{\epsilon}{2|c|+k}|x+c| \\
    &< \frac{\epsilon}{2|c|+k}(2|c|+k) \\
    &= \epsilon \end{align} \]
  2. \( \delta = k \). yine \( |x-c|<k \) ve dolayısıyla \( |x+c| < 2|c| + k \). fakat, \( k(2|c|+k)<\epsilon \) olduğunu not edelim. böylece: \[ \begin{align} |x^2 - c^2| &= |x-c||x+c| \\
    &<k|x+c| \\
    &<k(2|c|+k) \\
    &<\epsilon \end{align} \]